研究動機與目標
達文西橋是一種不需要釘子、膠水或繩子，純粹靠木棍互相交疊、摩擦力與重力就能撐住的橋梁結構。但同樣的搭法，換不同長度的棍子、改變接點位置，承重能力就天差地別。
我們想找出一組公式，輸入以下 5 個變數，就能算出預測承重：
| 符號 | 名稱 | 說明 |
|---|---|---|
| L | 棍長 | 每根木棍的長度 (cm) |
| b | 棍寬 | 木棍的寬度 (cm) |
| t | 棍厚 | 木棍的厚度 (cm) |
| H | 水平接點 | 水平方向的交疊距離 (cm) |
| V | 垂直接點 | 垂直方向的交疊距離 (cm) |
目標：建立一個對數線性迴歸模型，讓我們不必實際搭橋測試，就能估算最大承重。
實驗設計
為了控制變因，我們固定了部分條件，只改變想研究的變數：
操縱變因：
- 棍長 L：分別使用 15、18、20、25 cm 四種長度
- 水平接點 H：依棍長調整不同數值
- 垂直接點 V：依棍長調整不同數值
總共進行了 19 組實驗。每一組都實際搭建橋梁，然後逐步加重，直到橋梁崩塌為止，記錄崩塌前的最大承重（單位：克）。
| 棍長 (cm) | 實驗組數 | H 範圍 (cm) | V 範圍 (cm) |
|---|---|---|---|
| 15 | 4 組 | 2 ~ 3 | 1 ~ 3 |
| 18 | 4 組 | 2 ~ 4 | 2 ~ 4 |
| 20 | 7 組 | 2 ~ 5 | 2 ~ 5 |
| 25 | 4 組 | 3 ~ 6 | 2 ~ 5 |
每組實驗都做了至少 3 次重複測試，取平均值作為該組的最大承重數據。
材料強度 M 的推導
橋梁會在哪裡斷裂或變形？答案是：V0 和 V1 之間沒有支撐的那段懸空區間。
懸空段 S 是 V0 到 V1 之間水平棍沒有被垂直棍支撐的距離：
根據材料力學的樑彎曲理論，一根矩形截面的樑在集中載重下的最大承受力，與截面寬度 b 成正比、與厚度 t 的平方成正比、與跨距 S 成反比。
我們把這些跟木棍尺寸相關的因子整合成一個數值，稱為材料強度 M：
物理意義： M 越大 → 棍子越粗、越厚、懸空段越短 → 橋越強
M 越小 → 棍子越細、越薄、懸空段越長 → 橋越弱
M 把三個幾何變數（b、t、S）壓縮成一個數值，大幅簡化了模型。接下來只需要考慮 M 和 V 就能預測承重。
從 Model E 到 Model F
我們先嘗試了較簡單的 Model E，發現它的限制後，才改良出 Model F。
Model E 3 個特徵
- 3 個特徵：log(M)、V、V²
- V 的二次項能找到「最佳 V」
- 問題：最佳 V 永遠固定在同一個值（約 3.9 cm），不會隨棍長改變
- 20cm 棍子表現不錯，但在其他長度會失準
Model F 4 個特徵
- 4 個特徵：log(M)、V、V²、V×L
- 新增 V×L 交互作用項
- 突破：最佳 V 會隨棍長 L 動態調整
- 更符合物理直覺，跨不同長度都穩定
有了 V×L 項，最佳 V 就不再是固定值，而是一個隨棍長變化的公式：
含義： 棍子越長 → V×L 項越大 → 最佳 V 越小
14+3 驗證版 vs 14+5 正式版
確定了 Model F 的公式架構後，我們用兩種方式來訓練模型的係數：
14+3 驗證版 held-out
- 訓練資料：17 組
- 保留 2 組作為 held-out 驗證（實驗 53、54）
- 最佳分割 F515255，平均驗證偏差：6.5%
- LOO R² = 0.8622
- 適合說明模型形式為何成立
14+5 正式版 頁面使用
- 訓練資料：全部 19 組
- 用於實際預測的正式係數
- 訓練 R² = 0.9286，LOO R² = 0.8879
- LOO MAE = 235 g
- 推薦用於頁面即時預測
Model F 14+5 正式模型係數值
等效指數形式： F = 1.253×108 × M2.048 × e(0.650V − 0.059V² − 0.0098V×L)
模擬器實際計算使用完整精度係數 2.047639 / 0.649840 / -0.058821 / -0.009847 / 18.646435；本頁公式為四捨五入展示。
模型驗證
模型評估分成三層：10-split CV 用來公平比較 Model E 和 Model F；14+3 held-out 驗證用來確認 V×L 公式在未見資料上的表現；14+5 正式模型再用 LOO-CV 估計上線時的泛化誤差。
| 指標 | Model E (3 特徵) | Model F (4 特徵) | 結果 |
|---|---|---|---|
| 平均 MAPE | 20.2% | 18.3% | Model F 低 1.9 個百分點 |
| 勝出次數 | 3 / 10 | 5 / 10 | 另有 2 次平手 |
14+3 驗證版在最佳分割 F515255 的 held-out 結果如下：
| 驗證樣本 | 實測 | Model F 預測 | 偏差 |
|---|---|---|---|
| Exp53: 15cm H2 V2 | 3800 g | 4279 g | +12.6% |
| Exp54: 25cm H3 V4 | 1000 g | 997 g | -0.3% |
| 平均偏差 | F515255 held-out 驗證 | 6.5% | |
14+5 正式模型的 LOO（留一法）交叉驗證指標：
| 指標 | 數值 | 說明 |
|---|---|---|
| LOO R² | 0.8879 | 模型可解釋 88.8% 的變異 |
| 訓練 R² | 0.9286 | 訓練擬合度 |
| MAE | 181 g | 訓練平均絕對誤差 |
| LOO MAE | 235 g | 留一法平均絕對誤差 |
各棍長最佳配置（14+5 精確係數）
以下結果以頁面實際使用的 14+5 完整精度係數，並在目前整數 H、V 與搭建限制條件下搜尋所得：
- 棍子越短，承重越高（因為懸空段 S 更短）
- 連續公式的最佳 V 會從 15cm 的約 4.3，逐步下降到 30cm 的約 3.0；整數搜尋後則落在 H3V2、H4V4、H4V4、H5V3、H7V3
- 水平接點 H 隨棍長增加而增加，維持合理的懸空段長度
搭建限制條件
不是任意的 L、H、V 組合都能搭出穩定的橋。以下是必須滿足的物理限制條件：
| 條件 | 公式 | 白話說明 |
|---|---|---|
| 最短棍長 | L ≥ 13b | 棍子太短會無法交疊出穩定結構 |
| 水平接點上限 | H ≤ (L - 2b) / 4 | H 太大會讓懸空段消失，左右棍撞在一起 |
| 垂直接點上限 | V ≤ (L - 10b) / 2 | V 太大會讓橋腳太窄，容易左右搖晃 |
| 懸空段正值 | S > 0 | V0 和 V1 之間必須有空間 |
以 L = 20 cm、b = 1.0 cm 為例：
| 條件 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| 最短棍長 | 13 × 1.0 = 13 cm | 20 ≥ 13 ✔ |
| H 上限 | (20 - 2) / 4 = 4.5 cm | H ≤ 4.5 |
| V 上限 | (20 - 10) / 2 = 5.0 cm | V ≤ 5.0 |
| 懸空段（H=4, b=1） | 20 - 8 - 2 = 10.0 cm | S = 10.0 > 0 ✔ |
模擬器會即時檢查這些條件。當參數超出範圍時，預測卡片會變成黃色（警告）或紅色（錯誤），並顯示具體的違規項目。